Das Verhalten eines dynamischen Systems kann man entweder lokal um Fixpunkte oder global beschreiben. Die lokale Analyse ist leichter und die Ergebnisse sind charakteristisch für das Verhalten des Systems. Deshalb wird hier die lokale Analyse beschrieben.
Ein dynamisches System sei durch ein n - dimensionales Differenzialgleichungssystem folgender Art gegeben:
x ... Punkt im Zustandsraum des Systems; d.h. ein Systemzustand
t ... Zeit
Dieser Zusammenhang bedeutet, daß die Weiterentwicklung eines Systems gänzlich in seinem Zustand codiert ist. "The state covers all its history" [Rina95]
Für einen Fixpunkt F gilt, daß der Systemzustand F über die Zeit unverändert bleibt, also seine zeitliche Ableitung 0 ist.
Wie schon weiter oben kurz angesprochen, ist bei dynamischen Systemen vor allem das Verhalten in der Nähe von Fixpunkten interessant. Sei F der Fixpunkt und x = F+^x ein Punkt nahe bei F. Dann gilt:
Man kann jetzt einsetzen und erhält
Versucht man f(x) durch eine Taylor - Entwicklung anzunähern, bei der lediglich die Terme bis zur ersten Ordnung berücksichtigt werden, so erhält man
f'|x=F ist die Jacobi Matrix des Systems an der Stelle F. Da die Terme höherer Ordnung weggelassen werden, spricht man hier auch von Linearisierung. Das konstruierte System (f'|x=F) ist ein lineares dynamisches System.
Zusammenfassend kann man sagen, daß das Verhalten in der Nähe eines Fixpunktes F hauptsächlich durch die Jacobi - Matrix des Systems in diesem Fixpunkt charakterisiert wird
