Die Hopf-Bifurkation

Die Hopf-Bifurkation

Die Hopf-Bifurkation kann in verschiedenen Konstellationen auftreten: man spricht auch von der Hopf-Bifurkation und von der verallgemeinerten (entarteten) Hopf-Bifurkation. Beiden gemeinsam ist, daß sie eine Hopf-Singularität besitzen. Es wird davon ausgegangen, daß diese im Ursprung sitzt. Im weiteren wird nur auf die normale Hopfbifurkation eingegangen.

Hopf-Singularitäten

Wenn wir eine Singularität durch die Entartungsbedingung Tr J(F( x quer )) = 0 und die Nicht-Entartungsbedingungen det J(F(x quer)) > 0 und a1ungleich 0 charakterisieren können, so wird diese nicht-entartete Hopf-Singularität genannt, während eine Singularität mit gleichen Voraussetzungen, aber mit den ersten k Elementen ak gleich Null entartete Hopf-Singularität genannt wird. Die Anzahl der ak = 0 bestimmt den Entartungsgrad der Singularität. Mit a1ungleich 0 erhalten wir also die am geringsten entartete Hopf-Singularität (man beachte, daß diese 3-Jet determiniert ist).

Was soll das alles? Ein Beispiel bitte!

  1. Um den Sachverhalt zu veranschaulichen, betrachten wir ein System mit einer Hopf-Bifurkation im Ursprung:

    x punkt 1 = x2 + x1µ (1 - x12 - x22)
    x punkt 2 = -x1 + x2µ (1 - x12 - x22)

  2. Betrachten wir nun, welche Entartungsbedingungen und Nicht- Entartungsbedingungen erfüllt sind. Zunächst berechnen wir uns die Jakobimatrix des Systems. Diese ist gegeben durch

    siehe Definition der Jakobimatrix

  3. Wenn wir für x und y null einsetzen, so berechnet sich die Determinante von (2) durch

    det Matrix = µ<SUP>2</SUP> + 1 > 0

  4. Die erste Nicht-Entartungsbedingung ist also erfüllt, die Entartungsbedingung, welche verlangt, daß die Spur der Matrix gleich null ist, fordert daher folgendes:

    Tr Matrix = 2*µ = 0 => µ = 0

    Das bedeudet aber, daß für µ = 0 auf jeden Fall eine Hopf- Bifurkation stattfindet. Den genauen Entartungsgrad über die Normalform zu bestimmen ist mit längeren Berechnungen verbunden und wird hier nicht näher ausgeführt.

  5. Trotzdem wollen wir versuchen, eine anschauliche Herleitung für das Aussehen einer Hopf-Bifurkation zu liefern. Zunächst wollen wir das System linearisieren durch

    x punkt' 1 = µx'1 + x'2
    x punkt' 2 = -x'1 + µx'2

    wobei x'1 und x'2 kleine Störungen um den Fixpunkt sind (wir nehmen also x1 = x quer1 + x'1 und x2 = x quer 2 + x'2 an).

  6. Es gilt nun also in Matrixschreibweise

    x punkt' = Ax', Matrix A

    Die Eigenwerte werden durch det(A - lambda*I) = 0 ermittelt und ergeben sich als lambda1 = µ + i und lambda2 = µ - i. Daher muß das Equilibrium für µ < 0 lokal stabil und für µ > 0 lokal instabil sein. Man stellt fest, daß für µ = 0 keine Stabilitätsaussage getroffen werden kann. Um festzustellen, was wirklich passiert, wenn das System seinen Stabilitätszustand ändert, wollen wir das Differentialgleichungssystem in Polarkoordinaten umwandeln.

  7. Es gilt nun also in Polarkoordinaten-Schreibweise

    r punkt= µr(1 - r2)
    theta= -1"

    Die erste Gleichung von (7) kann man analytisch lösen. Die Zwischenschritte werden hier überspringen und gleich das Ergebnis präsentiert (der interessierte Leser findet alle nötigen Umformungen in [Tson92]).

  8. Daraus folgt

    r2(t) = r02 /[r02 + (1 - r02) e-2µt]

    Man sieht daraus sofort, daß für µ < 0 r(t) mit der Zeit gegen 0 geht. Da die Winkeländerung konstant ist (7) , muß also der Nullpunkt spiralartig anziehend sein. Weiters sieht man, daß r(t) für t gegen Unendlich gegen 1 strebt, wenn µ > 0 gilt. Das System hat also einen anziehenden Zyklus mit einem Radius 1.

Darstellung von Hopf-Bifurkationen

Die Hopf-Bifurkation läßt sich in zwei Arten unterteilen, die Supercritical Hopf-Bifurkation und die Subcritical Hopf-Bifurkation.

[<= Subcritical Hopf-Bifurkation]        [== Hopf-Bifurkation]        [=> Supercritical Hopf-Bifurkation]