Gradient, Divergenz und Rotation
- Skalar- und Vektorfelder
- Nabla-Operator
- Gradient
- Divergenz
- Rotation
Skalar- und Vektorfelder
Unter einem Feld versteht man i.a. einen Raum, in
dem jedem Punkt P(x;y;z) irgendeine physikalische
Größe zugeordnet ist.
Handelt es sich dabei um eine ungerichtete Größe
(Skalar), dann spricht man von einem Skalarfeld.
Z.B.: Temperatur, Dichte, Druck. In diesem Paper wird die Schreibweise
f(x,y,z) verwendet. (Theoretisch ist natürlich auch eine andere
Anzahl von Variablen möglich.)
Handelt es sich um eine gerichtete Größe (Vektor),
dann spricht man von einem Vektorfeld. Z.B.: Strömung,
Gravitation, Magnetlinien, elektrisches Feld. In diesem Paper wird die
Schreibweise
verwendet. (Eine andere Anzahl von
Komponenten bzw. Variablen ist möglich.)
Nabla-Operator
Der Nabla-Operator ist ein formaler Vektor, dessen Komponenten
aus den partiellen Differential-Operatoren bestehen.
Definition:
(Analog für andere Dimensionen)
Gradient
Sei f(x,y,z) ein Skalarfeld,
so ist der Gradient von f ein Vektor,
der in die Richtung der größten Änderung
von f im Punkt P(x;y;z) zeigt und dessen Betrag gleich dieser
größten Änderung ist.
Definition:
Der Gradient steht somit normal auf die Niveaufläche durch P.
Hat man ein Potentialfeld gegeben, so zeigt der Gradient immer in
die Richtung, in die sich ein Partikel bewegen würde, wenn
man es an der Stelle P in das Feld brächte.
Divergenz
Die Divergenz wird für ein Vektorfeld
v berechnet und ist selbst
ein Skalar.
Sie gibt z.B. für ein Strömungsfeld an,
ob aus einem infinitesimalen Volumen, P(x;y;z)
mehr Flüssigkeit heraus- als hineinströmt.
Definition:
Ist die Divergenz positiv, so befindet sich in P eine Quelle, ist
sie negativ, so befindet sicht in P eine Senke.
Ist die Divergenz 0, dann strömt genauso viel Flüssigkeit
in das Volumen hinein wie heraus.
Rotation
Die Rotation wird für ein Vektorfeld
v berechnet, und ist selbst ein Vektor.
Definition:
Betrachtet man ein infinitesimales Volumen im Vektorfeld, so gibt der
Rotationsvektor an wie stark und um welche Drehachse sich das Volumen
dreht.
Ist die Rotation 0, dann ist das Vektorfeld wirbelfrei.
zurück zu partielle Ableitung und
totales Differential
weiter zur Jakobimatrix
Mathematische Grundlagen Übersicht