Tori

Um eine Torus als Grenzelement der Topologie des Verhaltens zu erhalten, müssen wir ein etwas komplizierteres dynamisches System betrachten. Nehmen wir als Beispiel ein System 'I' an, das mit zwei Systemvariablen beschrieben werden kann und einen anziehenden Grenzzyklus aufweist, wie etwa das folgende System:

Dynamisches System in 2d

und Poincare Map auf der strobe plane des Gesamtsystems

Erweitern wir dieses System 'I' nun beispielsweise um eine weitere Systemvariable, die einen Rotationswinkel repräsentiert, dann kann ein Phasenraum für das neue 3D System konstruiert werden, indem man die Ebene, in der das Verhalten von System 'I' repräsentiert ist je nach Wert der zusätzlichen Variable im Raum um eine Achse dreht. Der Grenzzyklus wird dabei zu einem Torus rund um die Rotationsachse ausgezogen. So ist für jeden Zustand des Systems ein Punkt im Phasenraum definiert.

Systemzustände werden nun nicht in der für System 'I' bestimmten Ebene bleiben, sondern sich je nach Entwicklung der dritten Variable um die Achse des Gesamtsystems drehen. Dabei entstehen Trajektorien wie Umlaufbahnen von Wackelsternen, weil auch der Grenzzyklus des Subsystems auf die Evolution der Systemzustände wirkt. Betrachtet man allerdings die Ebene des Subsystems bei einem festen Winkel der dritten Variable - diese Ebene wird in der Literatur auch strobe plane genannt - und die in dieser Ebene auftretenden Schnittpunkte der Trajektorien, dann ergibt sich wieder als Poincaré Map ein diskretes System.

Nachdem der Grenzzyklus im Subsystem anziehend gewählt wurde, werden die von der Poincaré Map auf der strobe plane erzeugten Schnittpunkte immer näher dem Schnitt des Torus mit der strobe plane kommen. Abhängig vom Verhältnis der Perioden (Grenzzyklus und dritte Variable) ergibt sich eine periodische oder eine quasi-periodische Grenztrajektorie auf dem Torus.

Periodische Grenztrajektorien am Torus sind 3D-Grenzzyklen, die sooft durch die strobe plane an jeweilig anderen Schnittpunkten stoßen, bis auf dem Grenzzylus auch eine ganzzahlige Anzahl von Perioden durchlaufen wurde - Beispiel: hat die hinzugekommene dritte Variable eine Periodenlänge von t₁ und der Grenzzyklus eine Periodenlänge von t₂, dann schließt sich nach n Perioden der dritten Variable ein periodischer Grenzzyklus am Torus, wenn n>0 und n*t₁/t₂ ganzzahlig. Bemerkung: Tritt dieser Fall ein, so ergeben sich unendlich viele dieser Grenzzyklen am Torus.

Quasi-periodische Grenztrajektorien schließen sich nie zu einem Zyklus zusammen, bleiben aber doch auf dem Torus. Die Trajektorie schneidet sich natürlich niemals selbst, läuft also in "parallelen" Spuren auf dem Torus.

Auch ein Torus kann Systemzustände in seiner Nähe anziehen oder abstoßen, dementsprechend ergibt sich eine Torus-Attraktor bzw. ein Torus-Repellor. Ein Torus mit der Charakteristik eines Sattels bzw. im Zusammenhang mit spiralförmiger Evolution von Systemzuständen in seiner Nähe ist im 3D nicht möglich, müßte aber sehr wohl im 4D vorkommen können.