Die Saddle-Node Bifurkation

Bei dieser Bifurkation kollidieren wieder zwei Equilibria miteinander, diesmal verschwinden sie aber beide. Diese Bifurkation ist also eine katastrophische. Auch hier sei als Beispiel ein ganz einfaches angeführt. Das System

= p + x²

ist ein Fall eines Systems mit einer Saddle-Node Bifurkation. Auch hier ist p wieder der zeitlich veränderbare Parameter des Systems. Ebenso läßt sich auch hier die Berechnung der Eigenwerte für die Fixpunkte (die muß man natürlich wieder zuerst berechnen) auf die selbe Weise wie bei der Transcritical Bifurcation berechnen:

= 0     =>     x² = -p     =>     = -p für p < 0

Es ist auch hier am anschaulichsten, sich wieder die Bifurkation in einer kleinen Skizze zu betrachten. In der unteren Abbildung ist die Saddle-Node Bifurkation aus dem obigen Beispiel abgebildet:

Abbildung 6: Saddle-Node Bifurkation [Rina95]

Die Bifurkation passiert also bei p = 0. Der Eigenwert für = -p verschwindet bei p = 0, das Gleiche passiert für = - -p. Wie schon vorhin erwähnt ist diese Bifurkation katastrophisch, die beiden kollidierenden Equilibria verschwinden.

Warum heißt diese Bifurkation Saddle-Node Bifurkation?

Aus der folgenden Abbildung 7 ist dies ersichtlich. Diese Abbildung zeigt, auf welche zwei verschiedene Arten man die Saddle-Node Bifurkation in 3D sehen kann. Dabei wird im System, das am Anfang dieses Punktes als Beispiel angenommen wurde, x durch x₁ ersetzt und ein zweiter Wert x₂ und mit ihm die dritte Dimension, eingeführt.
Je nachdem ob die Ebene, in der p und x₁ liegen, anziehend oder abstoßend wirkt, werden aus dem Attraktor und dem Repellor ein Sattelpunkt (Saddle) bzw. ein Node, wobei der Node in einem Fall anziehendes und im anderen Fall abstoßendes Verhalten zeigt.

1. .Fall:
   ₁ = p + x₁²        ₂ = -x₂
   
2. .Fall:
   ₁ = p + x₁²        ₂ = x₂
   
   Abbildung 7: Saddle-Node Bifurkation in 3D [Rina95]