Die Transcritical Bifurkation

Bei dieser Art der Bifurkation kollidieren zwei Equilibria (ein Attraktor und ein Repellor) miteinander und vertauschen ihr dynamisches Anziehungs- und Abstoßungsverhalten. Einfachstes Beispiel dafür stellt folgendes System dar:

= px - x²

wobei p der veränderliche Parameter des Sytems ist. Hier kann man nun wie folgt die Eigenwerte berechnen:

Zuerst berechnet man die Fixpunkte, das heißt man setzt = 0 , danach berechnet man sich die Eigenwerte für diese Fixpunkte und erhält so einerseits ihr Anziehungs- oder Abstoßungsverhalten, andererseits den Bifurkationspunkt. In diesem kollidieren die zwei Fixpunkte und vertauschen ihr Verhalten. Die Berechnung sieht nun im Fall des obigen Systems wie folgt aus:

= 0     =>     x(p - x) = 0     =>     ₁= 0, ₂= p

Betrachten wir nun einmal die Bifurkation selbst:

Abbildung 5: Transcritical Bifurkation [Rina95]

Diese Bifurkation wird auch oft mit "exchange of stability" bezeichnet. Der Eigenwert für = 0 überschreitet die Grenze der Stabilität bei p = 0. Genau das Gleiche gilt für den Eigenwert von = p. Bei p = 0 tritt also eine Bifurkation auf.

Die Transcritical Bifurcation ist somit nicht katastrophisch, es kommt ja zu keiner Auslöschung von Attraktoren oder Repelloren, die beiden Equilibria tauschen nur ihr Verhalten, diese Bifurkation ist also eine Subtle Bifurcation.