können die Eigenwerte bestimmt werden.
Dabei ist I die (n x n) Einheitsmatrix.
erfüllt.
Mit Hilfe der charakteristischen Gleichung
können die Eigenwerte bestimmt werden.
Dabei ist I die (n x n) Einheitsmatrix.
Es gibt n Eigenwerte (jeder in seiner Vielfachheit gezählt), wobei auch paarweise konjugiert komplexe Lösungen auftreten können.
Die Eigenvektoren der Jakobimatrix spannen ein Koordinatensystem auf, deren Verhalten durch Streckung um die jeweiligen Eigenwerte bestimmt ist. Das Verhalten der Basisvektoren aber determiniert das Verhalten aller Vektoren in einer Umgebung von P. Das heißt, das Verhalten des Vektorfeldes in einer Umgebung von P kann durch die Eigenvektoren der Jakobimatrix von P beschrieben werden.
Das lokale Verhalten des Vektorfeldes ist insbesondere in der Umgebung eines kritischen Punktes (Fixpunktes) interessant. Ein Fixpunkt ist ein Punkt des Vektorfeldes, an dem alle Geschwindigkeitskomponenten gleich 0 sind, d.h. die Ableitungen des Vektorfeldes v(x,y,z,t) nach t sind alle 0. Das Verhalten des Feldes um so einen Punkt herum läßt sich durch die Eigenwerte der Jakobimatrix beschreiben.
Reelle, positive Eigenwerte geben ein Wegströmen vom Fixpunkt an
(abstoßender Punkt, Quelle,
Repellor) (1) negative ein Hinströmen
(anziehender Punkt, Senke, Attraktor) (2).
Ein Fixpunkt mit positiven und negativen Eigenwerten heißt
Sattelpunkt (3).
Konjugiert komplexe Eigenwerte zeigen eine Rotation an; bei rein
imaginären Werten ergeben sich konzentrisch-elliptische Feldlinien
(4). Komplexe Werte mit einem Realteil ungleich 0 indizieren ein
Hin- oder Wegströmen gleichzeitig mit der Rotation,
so daß sich vom Fixpunkt aus Spiralen bilden (5 und 6).
(Da komplexe Eigenwerte immer paarweise auftreten, gibt es im
dreidimensionalen Raum immer auch noch einen dritten, reellen
Eigenwert, der ein Hin- oder Wegströmen auf der dritten Achse
anzeigt.)
