Betrachtet man die Evolution von zwei von einander verschiedenen Anfangszuständen in der Nähe von Attraktoren, dann kann daraus auch meist ein Rückschluß auf die Klasse des Attraktors ( Fixpunkt , Zyklus , Torus oder seltsamer Attraktor ) getroffen werden.
Für anziehende Fixpunkte gilt, daß sich zwei beliebige Anfangszustände bei paralleler Evolution mit Sicherheit an einander annähern (bei hyperbolischen Fixpunkten sogar exponentiell). dabei spielt in großer Nähe des Fixpunktes nur mehr die langsame Richtung eine Rolle. Approximierend kann man also die Systemzustände (nach langer Evolution) auf der durch den zum langsamen Eigenwert gehörenden Eigenvektor definierten Gerade annehmen. Dort ist der zugehörige langsame Eigenwert ein Maß für Geschwindigkeit der Annäherung. Dieser Wert wird auch der erste Lyapunov Exponent L1 genannt.
Für anziehende Zyklen gilt keineswegs, daß zwei anfänglich verschiedene Systemzustände sich im Laufe der Evolution einander annähern müssen. Ja, die Wahrscheinlichkeit dafür ist sogar 0. Vielmehr passiert eine Annäherung an den Zyklus, am Zyklus aber bleibt der Abstand (zeitlich) zwischen konvergierten Systemzuständen gleich. Um also für Zyklen einen Lyapunov Exponenten (L2) zu bestimmen, muß man die parallele Evolution zweier Systemzustände betrachten, die wirklich zu einander konvergieren. Die Geschwindigkeit dieser Konvergenz - besser gesagt der Exponent dieser Geschwindigkeit - entspricht dem zweiten Lyapunov Exponenten (L2).
Analoges gilt nun für anziehende Tori. Nun sind die ersten zwei Lyapunov Exponenten gleich Null und erst der dritte Lyapunov Exponent (L3 ist kleiner - der Torus ist hyperbolisch - oder gleich Null - in diesem Fall ist der Torus nichthyperbolisch.
Interessant wird es wieder bei der Klasse der seltsamen Attraktoren. Hier verursacht die lokale Divergenz, daß die ersten Lyapunov Exponenten sogar größer Null sein können! Lediglich ein Lyapunov Exponent muß gleich Null sein, weil ja immer noch Systemzustände gefunden werden können - nämlich solche, die auf einer Trajektorie liegen, die weder konvergieren noch divergieren - ihr Abstand bleibt (zeitlich) gleich. Alle weiteren Lyapunov Exponenten sind wieder kleiner oder gleich Null.
